Question

20、设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC，试证：BC⊥BD，且BC=BD．

Answer 1

分析：此题关键是证△PBC≌△PDB，已有PC=PD，PB是公共边，只需再证明∠BPD=∠CPB，而∠BPD=∠APG，则证明∠APG=∠CPB，进而需要证明∠1=∠2，可利用同角的余角相等证明．

解答：解：∵PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∠ACB=90°，
∴CEPF是矩形（三角都是直角的四边形是矩形），
∴OP=OF，∠PEF+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵PG⊥EF，
∴∠PEF+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴∠APE=∠BPF=45°，
∴∠APE+∠2=∠BPF+∠1，
即∠APG=∠CPB，
∵∠BPD=∠APG，
∴∠BPD=∠CPB，
又PC=PD，PB是公共边，
∴△PBC≌△PBD（SAS），
∴BC=BD，∠PBC=∠PBD=45°，
∴∠PBC+∠PBD=90°，
即BC⊥BD．
故证得：BC⊥BD，且BC=BD．

点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质，综合利用了等腰直角三角形的性质，和矩形的判定和性质等知识点，难度较大．