Question

1．已知正方形ABCD和正方形AEFG，点F在边AB上，点M为DF的中点，连GM．
（1）在图1中画出△AEF绕A点逆时针旋转90°后的图形；
（2）在图1中，求证：BF=2MG；
（3）将图1中的正方形AEFG绕A点逆时针旋转至图2的位置，其他条件不变，问（2）中的结论是否仍然成立，若成立请证明，若不成立说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转变换的性质和正方形的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质得到AF′=AF，得到DF′=BF，根据三角形中位线定理得到GM=$\frac{1}{2}$DF′，从而证明结论；
（3）把四边形AEFG绕A点逆时针旋转90°得到四边形AGF′G′，根据旋转的性质和三角形中位线定理证明即可．

解答 解：（1）如图1，△AGF′即为所求；
（2）证明：由题意得，AF′=AF，又AB=AD，
∴DF′=BF，
∵∠FAG=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAG=∠F′AG，又AF′=AF，
∴G是FF′的中点，又M为DF的中点，
∴GM=$\frac{1}{2}$DF′，
∴BF=2MG；
（3）（2）中的结论仍然成立．
证明：把四边形AEFG绕A点逆时针旋转90°得到四边形AGF′G′，
则G是FF′的中点，又M为DF的中点，
∴GM=$\frac{1}{2}$DF′，
由旋转的性质可得，△ADF′≌△ABF，
∴DF′=BF，
∴BF=2MG．

点评 本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角是解题的关键，注意旋转变换中的旋转角、旋转方向和旋转中心要把握准确．