Question

先观察、研究下列的算式，再解答问题（1）、（2）

1

1×2

=

1

2

，

1

1

-

1

2

=

1

2

1

2×3

=

1

6

，

1

2

-

1

3

=

1

6

1

3×4

=

1

12

，

1

3

-

1

4

=

1

12

…
（1）你能归纳出

1

n(n+1)

=

 

（n表示大于或等于1的自然数）；
（3）你会计算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

的结果吗？

Answer 1

分析：（1）认真观察题目的已知条件，可看出告诉的式子有相等的，规律找着后可得答案；
（2）利用（1）的结论，合并后抵消大部分可得答案．

解答：解：（1）观察所给式子，易发现

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

…，
∴

1

n(n+1)

=-

1

n+1

；

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

，
=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

，
=1-

1

n+1

，
=

n

n+1

．

点评：本题考查了有理数是混合运算，解答本题时要认真观察所给的式子，找准式子的规律，按规律做题是比较关键的．