Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC相交于E，此时Rt△AEP∽Rt△ABC，点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，EP：EM=12：13．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A，C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）本题需先根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值．
（2）本题需先根据已知条件EN，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出

PE

AP

=

BC

AC

，求出a的值，即可得出y关于x的函数关系式，并且能求出函数的自变量取值范围．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，BC=30，AB=50，
∴AC=

AB2-BC2

=40，
∵EP：EM=12：13，
∴sin∠EMP=

12

13

，
∵CP⊥AB，
∴

AB•CP

2

=

AC•BC

2

，
∴

30×40

2

=

50×CP

2

，
∴CP=24，
∴CM=

CP

sin∠EMP

=26；
（2）∵sin∠EMP=

12

13

∴设EP=12a，
则EM=13a，PM=5a，
∵EM=EN，
∴EN=13a，PN=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴

PE

AP

=

BC

AC

，
∴

12a

x

=

x

16

，
∴x=16a，
∴a=

x

16

，
∴BP=50-16a，
∴y=50-21a
=50-21×

x

16

=50-

21

16

x，
∵当E点与A点重合时，x=0．当E点与C点重合时，x=32．
∴函数自变量取值范围是：（0＜x＜32）．

点评：本题主要考查了相似三角形、勾股定理、解直角三角形的判定和性质，在解题时要注意知识的综合应是解本题的关键．