Question

19．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是$\widehat{CD}$上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是$\sqrt{5}$-1．
（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．
（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=4，试求出线段CP的最小值．

Answer 1

分析 探究（一）：如图1在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC，证得PA＜PC即可得到PA是点P到⊙O上的点的最短距离；图2中有圆，找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P₂，在半圆上取P₁，连接AP₁，EP₁，可见，AP₁+EP₁＞AE，即AP₂是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可；
探究（二）根据题意得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可；
探究（三）由题意易证△ADE≌△DCF，从而得到AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．

解答 解：（1）找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P₂，在半圆上任取P₁，连接AP₁，EP₁，可见，AP₁+EP₁＞AE，即AP₂是AP的最小值．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，CE=$\frac{1}{2}$BC=1
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}=\sqrt{5}$，
∵P₂E=1，
∴AP₂=$\sqrt{5}$-1．
故答案为：$\sqrt{5}$-1．
（2）如图所示：因为点M是AD的中点，
∴AM=MA′=$\frac{1}{2}$AD=1，
由于△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN
∴MA′=AM=1是定值，当点A′在MC上时，A′C长度最小．
过点M作ME⊥DC于点E，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠EDM=60°，
∴∠EMD=30°，
∴ED=$\frac{1}{2}$MD=$\frac{1}{2}$，
∴EM=DM×cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴MC=$\sqrt{E{M}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴A′C=MC-MA′=$\sqrt{7}-1$．
答：A′C长度的最小值为$\sqrt{7}-1$．
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=4，∠ADC=∠C=90°．
在△ADE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADC=∠C}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°．
∴AE⊥DF；
由于点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC=$\sqrt{C{D}^{2}+Q{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴CP=QC-QP=2$\sqrt{5}$-2．
答：线段CP的最小值为2$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系及圆的性质，知道线段最短时点的位置并能确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．