Question

正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC上，EF、EG与BC、CD边相交于M、N．
（1）如图1，若E点与O点重合，求证：EM=EN；
（2）如图2，若E点不与O点重合：
①EM还等于EN吗？说明理由；
②试找出MC、CN、EC三者之间的等量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：（1）要证明EM=EN，证明△OBM≌△OCN即可解本题；
（2）同理可证△OBM≌△OCN；
（3）找出MC+NC与CG的关系，找到CG与EC的关系即可解本题．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，OA=OB=OC=OD，且∠OBC=∠OCD，∠BOC=90°，
∵∠FOG=90°，
∴∠BOM=∠BOC-∠MOC=90°-∠MOC，∠CON=∠FOG-∠MOC=90°-∠MOC，
∴∠BOM=∠CON，
在△OBM和△OCN中，

∠BOM=∠CON OB=OC ∠OBM=∠OCN

，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴EM=EN；

（2）
过E作EH⊥BC，EG⊥CD，
由正方形ABCD可知，AC平分∠BCD，
∴EH=EG，
∵∠HEG=360°-∠EHC-∠EGC-∠HCG=90°，
∴∠MEH=∠NEG，而∠EHM=∠EGN=90°，
∴△EMH≌△ENG，
∴EM=EN；

（3）由△EMH≌△ENG可知，MH=NG，而EG=HC，
∴MC+NC=MH+HC+NC=NG+EG+NC=EG+CG=2CG，
∵CG=

2

2

EC，
∴MC+NC=

2

EC．
答：（1）EM=EN，（2）EM=EN，（3）MC+NC=

2

EC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．