Question

2．如图所示，在边长为10的正方形ABCD中，AC是对角线，点E，G分别是边BC，CD上的点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，且F恰好落在对角线AC上，同理将△CEG沿GE折叠得到△HEG，使得EH与EF重合，连接AH，DH．
（1）求证：△ABE∽△ECG；
（2）试求∠HAF的正切值；
（3）完成下列探究（如计算结果有双重根号，则无需化简保留即可）
①直接写出△DHA的周长．
②设CF交GE于点K，试求四边形HFKG的面积．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠1+∠4=90°，由∠BAE+∠1=90°，所以∠BAE=∠4，由∠B=∠ECG=90°，由此即可证明．
（2）设EC=EH=a，在Rt△EFC中，EF=BE=10-a，EC=a，FC=10$\sqrt{2}$-10，可得（10-a）²+（10$\sqrt{2}$-10）²=a²，推出a=20-10$\sqrt{2}$，再求出FH即可解决问题．
（3）①作HM⊥CD于M，由△ABE∽△ECG，得$\frac{AB}{EC}$=$\frac{BE}{CG}$，求出CG，再证明△HMG是等腰直角三角形，在Rt△DHM中，求出DH，在Rt△AFH中，求出HA即可解决问题．
②由KF∥HG，得$\frac{EF}{EH}$=$\frac{FK}{GH}$，求出FK，根据四边形HFKG的面积=$\frac{1}{2}$•（FK+HG）•FH，计算即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=ECG=90°，
由翻折不变性可知：AB=AF=10，BE=EF，EC=EH，HG=CG，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠4=90°，∠BAE+∠1=90°，
∴∠BAE=∠4，∵∠B=∠ECG，
∴△ABE∽△ECG．

（2）设EC=EH=a，
∵AB=BC=10，∠B=90°，
∴AC=10$\sqrt{2}$，
在Rt△EFC中，EF=BE=10-a，EC=a，FC=10$\sqrt{2}$-10，
∴（10-a）²+（10$\sqrt{2}$-10）²=a²，
∴a=20-10$\sqrt{2}$，
∴BE=EC=10-a=10$\sqrt{2}$-10，
∴FH=EH-EF=20-10$\sqrt{2}$-（10$\sqrt{2}$-10）=30-20$\sqrt{2}$，
在Rt△AFH中，tan∠HAF=$\frac{FH}{AF}$=$\frac{30-20\sqrt{2}}{10}$=3-2$\sqrt{2}$．

（3）①由（1）可知∠4=∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，
∴∠3=∠4=22.5°，
∴∠HEC=45°，∠HGC=180°-∠HEC=135°，
∴∠HGD=45°，作HM⊥CD于M，
∵△ABE∽△ECG，
∴$\frac{AB}{EC}$=$\frac{BE}{CG}$，
∴$\frac{10}{20-10\sqrt{2}}$=$\frac{10\sqrt{2}-10}{CG}$，
∴CG=GH=10（3$\sqrt{2}$-4），
∴HM=GM=30-20$\sqrt{2}$，
∴DM=DC-MG-CG=20-10$\sqrt{2}$，
在Rt△DHM中，DH=$\sqrt{H{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{（30-20\sqrt{2}）^{2}+（20-10\sqrt{2}）^{2}}$=10$\sqrt{23-16\sqrt{2}}$，
在Rt△AFH中，AH=$\sqrt{A{F}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+（30-20\sqrt{2}）^{2}}$=10$\sqrt{18-12\sqrt{2}}$，
∴△ADH的周长为10+10$\sqrt{23-16\sqrt{2}}$+10$\sqrt{18-12\sqrt{2}}$．

②∵KF∥HG，
∴$\frac{EF}{EH}$=$\frac{FK}{GH}$，
∴$\frac{10\sqrt{2}-10}{20-10\sqrt{2}}$=$\frac{FK}{10（3\sqrt{2}-4）}$，
∴FK=10（3-2$\sqrt{2}$），
∴四边形HFKG的面积=$\frac{1}{2}$•（FK+HG）•FH=$\frac{1}{2}$[10（3-2$\sqrt{2}$）+10（3$\sqrt{2}$-4）]•（30-20$\sqrt{2}$）=50（5$\sqrt{2}$-7）．

点评 本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．