Question

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．
（1）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由．
（2）BD²=AD•DF吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）△AEF与△ABE相似，首先根据等边三角形的性质，可得AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，即可证明△ABD≌△BEC，即可以求得∠AFE=∠1+∠3=60°，再根据根据∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠BAE=60°，即可证明△AEF∽△ABE；
（2）BD²=AD•DF，易证△ABD∽△BFD，即可得BD²=AD•DF．

解答：解：（1）△AEF与△ABE相似，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵在△ABD和△BCE中，

AB=BC  ∠ABD=∠C    BD=EC

，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠1=∠2，
又∵∠AFE=∠2+∠3，
∴∠AFE=∠1+∠3=60°，
∴在△AEF和△ABE中，
∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠BAE=60°，
∴△AEF∽△BEA；

（2）BD²=AD•DF，理由如下：
∵在△ABD和△BFD中，
∠BDF=∠ADB，∠1=∠2，
∴△ABD∽△BFD，
∴

BD

AD

=

FD

BD

，
∴BD²=AD•DF．

点评：本题考查了相似三角形的证明和相似三角形对应边比值相等的性质，考查了等边三角形各边长相等，各内角为60°的性质，本题中求证△ABD∽△BFD是解题的关键．