Question

如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．
（1）求证：AF=CE；
（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵AF∥EC，
∴∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，
∵D是AC的中点，
∴DA=DC，
∴△DAF≌△DCE，
∴AF=CE；

（2）解：四边形AFCE是正方形．理由如下：
∵AF∥EC，AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC=EF，
∴平行四边形AFCE是矩形，
∴∠FCE=∠CFA=90°，
而∠ACB=135°，
∴∠FCA=135°-90°=45°，
∴∠FAC=45°，
∴FC=FA，
∴矩形AFCE是正方形．
分析：（1）由AF∥EC，根据平行线的性质得到∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，而DA=DC，易证得△DAF≌△DCE，得到结论；
（2）由AF∥EC，AF=CE，根据平行四边形的判定得到四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线相等即AC=EF，可判断平行四边形AFCE是矩形，则∠FCE=∠CFA=90°，通过
∠ACB=135°，可得到∠FCA=135°-90°=45°，则易判断矩形AFCE是正方形．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．也考查了矩形、正方形的判定方法．