Question

如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．

（1）证明△A′AD′≌△CC′B；

（2）若∠ACB=30°，试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

△A′C′D′由△ACD平移得到，

∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC．

∴∠D′A′C′=∠BCA．

∴△A′AD′≌△CC′B．

（2）解：当点C′是线段AC的中点时，四边形ABC′D′是菱形．

理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，

∴C′D′=CD=AB．

由（1）知AD′=C′B．

∴四边形ABC′D′是平行四边形．

在Rt△ABC中，点C′是线段AC的中点，

∴BC′=AC．

而∠ACB=30°，

∴AB=AC．

∴AB=BC′．

∴四边形ABC′D′是菱形．