Question

14．小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边△ABC外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到AD与DE的数量关系．
（1）AD与DE相等吗？请你说明理由；
【类比探究】
（2）当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其它条件不变，如图2，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；
【拓展应用】
（3）当点D在BC的延长线上，且满足CD=BC，连接AE，其它条件不变，如图3，若AD=6，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）结论：AD=DE．由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（2）结论：AD=DE．由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（3）由BC=CD，得到AC=CD，得到CE垂直平分AD，证出△ADE是等边三角形，即可解决问题．

解答 解：（1）结论：AD=DE，理由如下：
如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BFD=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴DF=BD，∠BFD=60°，
∵BD=CD，
∴DF=CD
∴∠AFD=120°．
∵EC是外角的平分线，
∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ECD=30°，
在△AFD与△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠DCE}\\{DF=CD}\\{∠ADF=∠EDC}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；

（2）结论：AD=DE；理由如下：
如图2，过点D作DF∥AC，交AB于点F，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BFD=60°，
∴△BDF是等边三角形，BF=BD，∠BFD=60°，
∴AF=CD，∠AFD=120°，
∵EC是外角的平分线，
∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠ADF=∠EDC，
在△AFD≌△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠EDC}\\{AF=CD}\\{∠AFD=∠DCE}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；

（3）如图3中，

∵BC=CD，
∴AC=CD，
∵CE平分∠ACD，
∴CE垂直平分AD，
∴AE=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD=6．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．