Question

如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A(－3，0)，B(1，0)，直径CD垂直于x轴于N，直线CE切⊙M于C，直线FG切⊙M于F，交CE于G，已知点G的横坐标为3．

(1)若抛物线y＝－x²－2x＋m经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标；

(2)求直线DF的解析式；

(3)是否存在过点G的直线，使它与(1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵抛物线y＝x2＋2x＋m过A、B两点．∴－3×1＝－m，m＝3，∴抛物线为y＝－x2－2x＋3，又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点，∴D点的坐标为(－1，4); 　　(2)由题意知AB＝4，∵CD⊥x轴，∴NA＝NB＝2，∴ON＝1，由相交弦定理得NA·NB＝ND·NC，∴NC×4＝2×2，NC＝1，∴C点的坐标为(－1，－1)，又CE切⊙M于C，∴CE⊥CD，又CD⊥x轴，∴CE∥x轴，∴G点坐标为(3，－1)，设直线DF交CE于P，连结CF，得∠CFP为，∴∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝，∵CG、FG为⊙M切线，∴CG＝FG，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FG＝GP，∴GC＝GP，可得CP＝8，∴P点的坐标为(7，－1)，设直线的解析式为y＝kx＋b,(k≠0)则，解得，∴直线DF的解析式为y＝－x＋ ; 　　(3)假设存在过点G的直线为y＝k1x＋b1，则3k1＋b1＝－1，∴b1＝－3k1－1解方程组，得x2＋(2＋k1)x－4－3k1＝0，由题意得－2－k1＝4，∴k1＝－6，当k1＝－6时，△＝－40＜0，∴方程无实数解，∴方程组无实数解，∴满足条件的直线不存在