Question

如图，抛物线与x轴交于A（-2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点F为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将已知点的坐标代入抛物线的交点式即可确定二次函数的解析式；
（2）首先利用m表示出线段AM的长，然后利用△AMN∽△ABC得到比例式，最后得到有关m的二次函数求最值即可；
（3）此题可分作两种情况考虑：
①AF∥DE；根据抛物线的解析式可求得C点坐标，可得C、D关于抛物线对称轴对称，即C、D的纵坐标相同，所以CD∥x轴，那么C点就是符合条件的G点，易求得CD的长，根据平行四边形的性质知BE=CD，由此可得到BE的长，将B点坐标向左或向右平移CD个单位即可得到两个符合条件的E点坐标；
②AD∥EF；根据平行四边形的性质知，此时G、D的纵坐标互为相反数，由此可求得G点的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求得G点的坐标；那么将G点的横坐标减去3（B、D横坐标差的绝对值），即可得到两个符合条件的E点坐标；
综上所述，符合条件的E点坐标应该有4个．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），
将点C的坐标带入，求得a=

1

3

．
∴抛物线的解析式为y=

1

3

x²-

4

3

x-4．

（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH⊥x轴于点H（如图（1））．
∵点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（6，0），
∴AB=8，AM=m+2．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴

NH

CO

=

AM

AB

，
∴

NH

4

=

m+2

8

，
∴NH=

m+2

2

∴S_△CMN=S_△ACM-S_△AMN
=

1

2

×AM×CO-

1

2

AM×NH
=

1

2

（m+2）（4-

m+2

2

）
=-

1

4

m²+m+3
=-

1

4

（m-2）²+4．
∴当m=2时，S_△CMN有最大值4．
此时，点M的坐标为（2，0）．

（3）∵点D（4，k）在抛物线y=

1

3

x²-

4

3

x-4上，
∴当x=4时，k=-4，
∴D点的坐标是（4，-4）．
如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF∥DE，
∵D（4，-4），
∴E（0，-4），DE=4．
∴F₁（-6，0），F₂（2，0）．
如图（3）当AF为平行四边形的对角线时，
设F（n，0），则平行四边形的对称中心为（

n-2

2

，0）．
∴E’的坐标为（n-6，4）．
把E’（ n-6，4）代入y=

1

3

x²-

4

3

x-4，
得n²-16n+36=0．
解得n=8±2

7

．
F₃（8-2

7

，0），F₄（8+2

7

，0）．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及平行四边形的判定和性质；要特别注意的是（3）题中，由于没有明确BD是平行四边形的边还是对角线，所以一定要分类讨论，以免漏解．