Question

如图，抛物线与x轴交于A、B（6，0）两点，且对称轴为直线x=2，与y轴交于点C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MA、MC，当△MAC的周长最小时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据抛物线与x轴交于A、B（6，0）两点，且对称轴为直线x=2可以求出A的坐标，然后设所求抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），接着把C的坐标代入其中即可求解；
（2）根据题意知道当△MAC的周长最小时，即MA+MC的值最小，然后连BC，交直线x=2于点M，即为所求的点．根据作图可以求出直线BC的解析式，把x=2代入其中求出y即可解决问题；
（3）存在．首先根据已知条件求出D的坐标，然后讨论：
如图（1），当AF₂为平行四边形的边时，接着根据平行四边形的性质得到E的坐标；
如图（2），当AF为平行四边形的对角线时，设E′的坐标为（x，4），把E′（x，4）代入y=

1

3

x2-

4

3

x-4得x=2±2

7

，由此即可求解．

解答：解：（1）∵抛物线与x轴交于A、B（6，0）两点，且对称轴为直线x=2，
∴A（-2，0），
又∵抛物线过点A、B、C，
故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），
将点C的坐标代入，
求得a=

1

3

，
∴抛物线的解析式为y=

1

3

x2-

4

3

x-4；

（2）当△MAC的周长最小时，即MA+MC的值最小，
连接BC，交直线x=2于点M，即为所求的点；
∵直线BC经过B（6，0），C（0，-4），
∴直线CB的解析式为yBC=

2

3

x-4，
当x=2时，y=-

8

3

∴M(2，-

8

3

)；

（3）∵点D（4，k）在抛物线y=

1

3

x2-

4

3

x-4上，
∴当x=4时，k=-4，
∴点D的坐标是（4，-4），
如图（1），当AF₂为平行四边形的边时，
∵D（4，-4），
∴DE=4．
∴F₁（-6，0）；
如图（2），当AF为平行四边形的对角线时，
F的坐标为（x，0）
把F（x，0）代入y=

1

3

x2-

4

3

x-4，
得x=2±2

7

．
∴F₂（2+2

7

，0），F₃（2-2

7

，0）．

点评：此题是二次函数的综合题，分别考查了待定系数法确定函数的解析式、平行四边形的性质及轴对称的性质，综合性比较强，要求学生有很强的综合分析问题，解决问题的能力，同时相关的基础知识也熟练掌握．