Question

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式，进而可用配方法或公式法求得顶点D的坐标．
（2）根据B、C、D的坐标，可求得△BCD三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可．
（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得△BDC三边的比例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标．

解答：解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
由抛物线与y轴交于点C（0，-3），可知c=-3，
即抛物线的解析式为y=ax²+bx-3，
把A（-1，0）、B（3，0）代入，
得

a-b-3=0 9a+3b-3=0

解得a=1，b=-2．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
∴顶点D的坐标为（1，-4）．

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形，
理由如下：
过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，
∴BC²=18，
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，
∴CD²=2，
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，
∴BD²=20，
∴BC²+CD²=BD²，故△BCD为直角三角形．

（3）连接AC，则容易得出△COA∽△CAP，又△PCA∽△BCD，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）．
过A作AP₁⊥AC交y轴正半轴于P₁，可知Rt△CAP₁∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为P1(0，

1

3

)．
过C作CP₂⊥AC交x轴正半轴于P₂，可知Rt△P₂CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为P₂（9，0）．
∴符合条件的点有三个：O（0，0），P1(0，

1

3

)，P₂（9，0）．

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，（3）题中能够发现点O是符合要求的P点，是解决此题的突破口．