Question

15．定义f（x）=x²+x+1，若素数p，q满足f（p）=f（q）+242，则有序数对（p，q）=（61，59）．

Answer 1

分析 根据定义和素数p，q满足f（p）=f（q）+242，可得（p-q）（p+q+1）=242，再将242分解成2×121和11×22，即可得出关于p、q的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．

解答 解：∵定义f（x）=x²+x+1，素数p，q满足f（p）=f（q）+242，
∴p²+p+1=q²+q+1+242，即（p-q）（p+q+1）=242．
∵242=2×121=11×22，p、q为素数，
∴p-q＜p+q+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{p-q=2}\\{p+q+1=121}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p-q=11}\\{p+q+1=22}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=61}\\{q=59}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p=16}\\{q=5}\end{array}\right.$，
∵p、q均为素数，
∴有序数对（p，q）=（61，59）．
故答案为：（61，59）．

点评 本题考查了质数与合数以及解二元一次方程组，解题的关键是通过拆分242得出关于p、q的二元一次方程组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过分解合数得出方程（或方程组）是关键．