Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＜∠B，沿AB边上的中线CM将△ACM翻折，点A落在D处，若BM平分∠CMD，BC=3，则AC的长为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 先根据折叠的性质得∠1=∠2，由CM为直角△ABC斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质得MA=MC=MB，则∠1=∠A，根据三角形外角性质得∠3=∠1+∠A=2∠1=2∠2，再由CD⊥AB得到∠3+∠2=90°，根据三角形内角和定理可计算出∠2=30°，即可得到结果．

解答 解：如图，
∵△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，
∴∠1=∠2，
∵CM为直角△ABC斜边上的中线，
∴MA=MC=MB=DM，
∴∠1=∠A，
∴∠2=∠A，∠3=∠1+∠A=2∠1=2∠2，
∵BM平分∠CMD，
∴CD⊥AB，
∴∠3+∠2=90°，
∴2∠2+∠2=90°，
∴∠2=30°，
∴∠A=30°，
∵BC=3，
∴AC=3$\sqrt{3}$
故选C．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和等边三角形的判定与性质．