Question

如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．
（1）判断△BEC的形状，并说明理由？
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；
（3）求四边形EFPH的面积．

Answer 1

分析：（1）根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE²+BE²的值，求出BC²，根据勾股定理的逆定理求出即可；
（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定推出即可；
（2）根据三角形的面积公式求出CF，求出EF，根据勾股定理求出PF，根据面积公式求出即可．

解答：（1）△BEC是直角三角形，
理由是：∵矩形ABCD，
∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，
由勾股定理得：CE=

CD2+DE2

=

22+12

=

5

，
同理BE=2

5

，
∴CE²+BE²=5+20=25，
∵BC²=5²=25，
∴BE²+CE²=BC²，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．

（2）解：四边形EFPH为矩形，
证明：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，
∴AE=CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．

（3）解：在RT△PCD中FC⊥PD，
由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，
∴CF=

4×2

2 5

=

4

5

5

，
∴EF=CE-CF=

5

-

4

5

5

=

1

5

5

，
∵PF=

PC2-CF2

=

8

5

5

，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=

8

5

，
答：四边形EFPH的面积是

8

5

．

点评：本题综合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的运用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，此题综合性比较强，题型较好，难度也适中．