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【题目】如图,在矩形中,.动点从点出发,沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动.过点(不与点重合)作,交于点,交于点,以为边向右作正方形.设点的运动时间为秒.

1)①_________________;

②当点上时,用含的代数式直接表示线段的长.

2)当点与点重合时,求的值;

3)设正方形的周长为,求之间的函数关系式;

4)直接写出对角线所在的直线将正方形分成两部分图形的面积比为12的值.

【答案】1①15;(2t3;(4.

【解析】

1由矩形的性质和勾股定理即可得出结果;

先证明△APF∽△ADC,可得,进一步即可得出结果;

2)当点F与点D重合时,如图1,证明△APD∽△ADC,得出,进一步即可求得结果;

3)分情况讨论:

0t时,如图2所示,由(1得:PF8t,同理可得:PEt的关系,从而可得EFt的关系,进而可得结果;

t3时,如图3所示,此时EF的长与图1中点FD重合时DE的长相等,求出此时EF的长即可得出结果;

3t时,如图4所示,同(1得:△CPF∽△ABC∽△EPC,然后利用相似三角形的性质即可得出PFPEt的关系,进而可得EFt的关系式,问题即得解决;

4)由(2)题可知,对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为12时,只有在图3中可能出现,再分PEPF12PFPE12两种情况,利用相似三角形的性质和图3的结论:EF=10讨论求解即可.

解:(1)①∵四边形ABCD是矩形,∴∠B90°,

AC

故答案为:15

∵四边形ABCD是矩形,∴∠D90°,ADBC3CDAB6

EFAC,∴∠APF90°=∠D

∵∠PAF=∠DAC,∴△APF∽△ADC

,即,解得:PF8t

2当点F与点D重合时,如图1所示:

∵∠APD=∠ADC90°,∠PAD=∠DAC

∴△APD∽△ADC

,即

解得:t

30t时,如图2所示:

由(1得:PF8t,同理可求得:PE2t,∴EF10t

l4EF40t

t3时,如图3所示:此时EF的长与图1中点FD重合时DE的长相等,

EF10t,∴l4×30

3t时,如图4所示:同(1得:△CPF∽△ABC∽△EPC

,即

解得:PF154t),PE2154t),

EFPF+PE154t),

l4×154t)=﹣40t+150

综上,之间的函数关系式是:

4)由(2)题可知,对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为12时,只有在图3中可能出现,则PEPF12,或PFPE12

PEPF12时,∵EF,∴PFEF5

∵△CPF∽△CDA,∴,即,解得:PF154t),

154t)=5,解得:t

PFPE12时,PFEF,则154t)=,解得:t

综上所述,对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为12t的值为

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