Question

已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，AH=5，CD=，点E在⊙O上，射线AE与射线CD相交于点F，设AE=x，DF=y．

（1）求⊙O的半径；

（2）如图，当点E在AD上时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）如果EF=，求DF的长．

 

Answer 1

解答： 解：（1）连接OD，设⊙O的半径OA=OD=r，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴DH=DC=×4=2，

在Rt△OHD中，∵OD²﹣OH²=DH²，OH²=（AH﹣OA）²=（5﹣r）²，

∴r²﹣（5﹣r）²=（2）²，解得r=，

∴⊙O的半径为；

 

（2）作OG⊥AE，垂足为G，如图，

∴AG=AE=x，

∴△AOG∽△AFH，

∴AG：AH=AO：AF，即x：5=：AF，解得AF=，

∴FH===，

∵DF=FH﹣DH，

∴y关于x的函数解析式为y=﹣2，

定义域为0＜x≤3；

 

（3）当点E在弧AD上时，如图，∵AF﹣AE=EF，即﹣x=，

化为整式方程得2x²+3x﹣90=0，解得x₁=﹣（舍去），x₂=6，

∴DF=y=﹣2=；

当点E在弧DB上时，如图，∵AE﹣AF=EF，即x﹣=，

化为整式方程得2x²﹣3x﹣90=0，解得x₁=，x₂=6（舍去），

∵AB为直径，

∴∠E=90°，

∴△AHF∽△AEB，BE==，

∴FH：BE=AH：AE，即FH：=5：，解得FH=

∴DF=DH﹣FH=2﹣

当点E在BC弧上时，同上得FH=，

∴DF=DH+FH=2+．