精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图,在RtABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点MN在边BC上.

(1)如图1,如果AM=AN,求证:BM=CN

(2)如图2,如果MN是边BC上任意两点,并满足∠MAN=45°,那么线段BMMNNC是否有可能使等式MN2=BM2+NC2成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.

【答案】见解析

【解析】

试题(1)根据已知条件Rt△ABC中,∠BAC=90°AB=AC”以及等腰直角三角形的性质来判定△ABM≌△CANAAS);然后根据全等三角形的对应边相等求得BM=CN

2)过点CCE⊥BC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AEEN.通过证明△ABM≌△ACESAS)推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE;然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°,所以△MAN≌△EANSAS),故全等三角形的对应边MN=EN;最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2MN2=BM2+NC2

1)证明:∵AB=AC∴∠B=∠C

∵AM=AN∴∠AMN=∠ANM

即得∠AMB=∠ANC.(1分)

△ABM△CAN中,

∴△ABM≌△CANAAS).(2分)

∴BM=CN.(1分)

另证:过点AAD⊥BC,垂足为点D

∵AB=ACAD⊥BC∴BD=CD.(1分)

同理,证得MD=ND.(1分)

∴BD﹣MD=CD﹣ND

即得BM=CN.(2分)

2MN2=BM2+NC2成立.

证明:过点CCE⊥BC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AEEN

∵AB=AC∠BAC=90°∴∠B=∠C=45°

∵CE⊥BC∴∠ACE=∠B=45°.(1分)

△ABM△ACE中,

∴△ABM≌△ACESAS).

∴AM=AE∠BAM=∠CAE.(2分)

∵∠BAC=90°∠MAN=45°∴∠BAM+∠CAN=45°

于是,由∠BAM=∠CAE,得∠MAN=∠EAN=45°.(1分)

△MAN△EAN中,

∴△MAN≌△EANSAS).

∴MN=EN.(1分)

Rt△ENC中,由勾股定理,得EN2=EC2+NC2

即得MN2=BM2+NC2.(1分)

另证:由∠BAC=90°AB=AC,可知,把△ABM绕点A逆时针旋转90°后,ABAC重合,设点M的对应点是点E

于是,由图形旋转的性质,得AM=AE∠BAM=∠CAE.(3分)

以下证明同上.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠B=45°,AE为BC边上的高,将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E,则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在边长为3cm的正方形ABCD中,点E为BC边上的任意一点,AF⊥AE,AF交CD的延长线于F,则四边形AFCE的面积为cm2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】嘉淇准备完成题目:化简:,发现系数印刷不清楚.

(1)他把猜成3,请你化简:(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2);

(2)他妈妈说:你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数.通过计算说明原题中是几?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,Rt△ABC的顶点B在反比例函数 的图象上,AC边在x轴上,已知∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,则图中阴影部分的面积是(
A.12
B.4
C.12-3
D.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知:如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点.
(1)求证:△ABM≌△DCM;
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图①,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,ADBC于点D,可知:∠BAD=C(不需要证明);

(1)如图②MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CFAE于点F,BDAE于点D.求证:△ABD≌△CAF;

(2)如图③,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,点E、F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、2分别是△ABE与△CAF的外角.已知AB=AC,1=2=BAC.求证:△ABE≌△CAF.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知:如图1,RtABCRtA'B'C',AB=A'B',AC=A'C',C=C'=90°.

求证:RtABCRtA'B'C'全等.

(1)请你用如果…,那么…”的形式叙述上述命题;

(2)ABCA'B'C'拼在一起,请你画出两种拼接图形;例如图2:(即使点A与点A'重合,C与点C'重合.)

(3)请你选择你拼成的其中一种图形,证明该命题.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH的位置,若HG=24 cm,WG=8 cm,CW=6 cm,求阴影部分的面积.

查看答案和解析>>

同步练习册答案