Question

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P的运动时间为x（秒）．
（1）设△PBQ的面积为y（cm²），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；
（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．

Answer 1

分析 （1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析，首先过点Q作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；
（2）由二次函数最值的求法得到两种情况下的△PBQ的面积最大值，进行比较即可得到答案；
（3）根据三角形的面积公式得到符合条件的点应该是：到三边的距离之比为12：15：20．

解答 解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即：（4x）²+（3x）²=10²，
解得：x=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；
分两种情况：
①如图1，当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H．
∵AP=x，∴BP=10-x，BQ=2x，
∵△QHB∽△ACB，
∴$\frac{QH}{AC}$=$\frac{QB}{AB}$，
∴QH=$\frac{8}{5}$x，
y=$\frac{1}{2}$BP•QH=$\frac{1}{2}$（10-x）•$\frac{8}{5}$x
=-$\frac{4}{5}$x²+8x（0＜x≤3），
②如图2，当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=x，
∴BP=10-x，AQ=14-2x，
∵△AQH′∽△ABC，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{QH′}{BC}$，
即：$\frac{14-2x}{10}$=$\frac{QH′}{6}$，
解得：QH′=$\frac{3}{5}$（14-2x），
∴y=$\frac{1}{2}$PB•QH′=$\frac{1}{2}$（10-x）•$\frac{3}{5}$（14-2x）
=$\frac{3}{5}$x²-$\frac{51}{5}$x+42（3＜x＜7）；

（2）①当0＜x≤3时，y=-$\frac{4}{5}$（x-5）²+20．
∵该抛物线的开口方向向下，对称轴是x=5，
∴当x=3时，y取最大值，y_最大=$\frac{84}{5}$．
当3＜x＜7时，y=$\frac{3}{5}$x²-$\frac{51}{5}$x+42=$\frac{3}{5}$（x-$\frac{17}{2}$）²+$\frac{1707}{20}$（3＜x＜7）；
∵该抛物线的开口方向向上，对称轴是x=$\frac{17}{2}$，
∴当x=3时，y取最大值，
但是x=3不符合题意．
综上所述，△PBQ的面积的最大值是$\frac{84}{5}$．

（3）存在．理由如下：
设点T到AB、AC、BC的距离分别是a、b、c．
∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴$\frac{1}{2}$AB•a=$\frac{1}{2}$AC•c=$\frac{1}{2}$BC•c，即5a=4b=3c，
故a：b：c=12：15：20．
∴当满足条件的点T到AB、AC、BC的距离之比为12：15：20时，△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．