Question

5．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，且BD=2，则BC=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，可求得∠C的度数，又由BD为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠BAD=90°，即可求得BD的长，然后过A作AE⊥BC于点E，由垂径定理求得BE的长，继而求得答案．

解答 解：∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠ADB=∠ABC=∠ACB=30°，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得AB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×2=1，
过A作AE⊥BC于点E，Rt△ABE中，可求得BE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$，
∴BC=2BE=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查圆周角定理及直角三角形的性质，掌握在同圆中同弧所对的圆周角相等是解题的关键．