Question

（1997•河南）如图，a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，且a、b是关于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的两个根．点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若tanA=

3

4

，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）由a、b是关于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的两个根，根据根与系数的关系，可得a+b=c+4，ab=4（c+2），继而可得a²+b²=c²，则可判定△ABC是直角三角形．
（2）连接OE，由tanA=

3

4

与a+b=c+4，可求得a，b，c的值，又由平行线分线段成比例定理，可求得半径的长，继而求得答案．

解答：解：（1）△ABC是直角三角形．
理由：∵a、b是关于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的两个根．
∴a+b=c+4，ab=4（c+2），（1分）
∴a²+b²=（a+b）²-2ab
=（c+4）²-8（c+2）
=c²．
∴△ABC是直角三角形．（2分）

（2）∵∠C=90°，
∴tanA=

a

b

=

3

4

，
设a=3k，则b=4k，从而c=5k（k＞0）．
∵a+b=c+4，
∴3k+4k=5k+4，
解得：k=2．
∴a=6，b=8，c=10．（5分）
连接OE．（6分）
∵AE是切线，
∴OE⊥AE．
又∵BC⊥AC，
∴OE∥BC．（7分）
∴△AOE∽△ABC，
∴

OE

BC

=

OA

AB

，
∴

OE

6

=

10-OE

10

，
解得：OE=

15

4

，
在Rt△AOE中，AE=

OE

tanA

=

15 4

3 4

=5．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、根与系数的关系以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．