Question

【题目】如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点且与x轴交于点C，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A、点C．

（1）求一次函数和二次函数的函数表达式；

（2）连接OA，求∠OAB的正弦值；

（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣4，y＝﹣2x2+7x+4；（2）；（3）存在，（6，0）或（20，0）

【解析】

（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后根据与x轴的交点y=0，求出C的坐标，然后根据A与C的坐标求出二次函数的解析式即可；

（2）过O作OH⊥BC，垂足为H，证明△BOC为等腰直角三角形，求出OH＝BC＝2，然后求出OA，即可求出∠OAB的正弦值；

（3）利用勾股定理求出AH，再求出AB＝，然后分情况求出D点的坐标即可.

解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点，

∴﹣5＝﹣k+b，b＝﹣4，k＝1，

∴一次函数解析式为：y＝x﹣4，

∵一次函数y＝x﹣4与x轴交于点C，

∴y＝0时，x＝4，

∴C（4，0），

∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣1，﹣5）、点C（4，0），

∴，

解得a＝﹣2，b＝7，

∴二次函数的函数表达式为y＝﹣2x2+7x+4；

（2）过O作OH⊥BC，垂足为H，

∵C（4，0），B（0，﹣4），

∴OB＝OC＝4，即△BOC为等腰直角三角形，

∴BC＝＝＝4，

∴OH＝BC＝2，

由点O（0，0），A（﹣1，﹣5），得：OA＝，

在Rt△OAH中，sin∠OAB＝＝＝；

（3）存在，

由（2）可知，△OBC为等腰直角三角形，OH＝BH＝2，

在Rt△AOH中，根据勾股定理得：AH＝＝＝3，

∴AB＝AH﹣BH＝，

∴当点D在C点右侧时，∠OBA＝∠DCB＝135°，

①当，即时，解得CD＝2，

∵C（4，0），即OC＝4，

∴OD＝OC+CD＝2+4＝6，

此时D坐标为（6，0）；

②当，即时，

解得CD＝16，

∵C（4，0），即OC＝4，∴OD＝OC+CD＝16+4＝20，

此时D坐标为（20，0），

综上所述，若△BCD与△ABO相似，此时D坐标为（6，0）或（20，0）．