Question

【题目】如图，□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F,CE平分∠DCB交AD于点E,BF和CE相交于点P.

(1)求证：AE=DF.

(2)已知AB=4,AD=5.

①求的值；

②求四边形ABPE的面积与△BPC的面积之比.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①②

【解析】

（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB，同理可证DE=DC，推出AF=DE即可解决问题．

（2）①求出EF的值，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．

②连接PA．设△AEP的面积为S．求出四边形ABPE，△PBC的面积即可解决问题．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，DC=AB，AD=BC，

∴∠AFB=∠FBC，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠FBC，

则∠ABF=∠AFB，

∴AF=AB，

同理可证：DE=DC，

∴AF=DE，

∴AE=DF．

（2）①解：由（1）可知AB=AF=DE=4，

∴AE=DF=1，EF=3，

∵EF∥BC，

∴．

②解：连接PA．设△AEP的面积为S．

∵AE= 1，EF=3，

∵EF=3AE，

∴△EFP的面积为3S，

∵AD∥BC，

∵△EFP∽△CBP，

∴，

∴S△BCP=S，

∵PB：PF=5：3，

∴S△APB：S△APF=5：3，

∴S△ABP=S，

∴S四边形ABPE= S△ABP +S△AEP =S，

∴．