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【题目】已知:在中,,点边的中点,点上,连接并延长到点,使,点在线段上,且.

1)如图1,连接,当时,求证:

2)如图2,当时,则线段之间的数量关系为

3)在(2)的条件下,延长,使,连接,若,求证:,并求的正弦值.

【答案】1)见解析;(2;(3

【解析】

(1)连接,利用等腰三角形三线合一的性质得到,然后根据锐角三角函数求得,根据题意判定,然后利用相似三角形的性质求解;(2)由题意判定△ABC为等边三角形,然后利用含30°的直角三角形的性质得到BD=DC=AB,再根据题意利用角角定理判定ABE∽△DBM,相似比为2,故有AE=2DM,进而确定出AEDM的关系;(3)根据题意判定为等边三角形,从而求证,然后利用正弦值的定义列式求解即可.

解:(1)证明:如图1连接

且点边的中点

1

2)如图2,连接AD

AB=AC

∴△ABC是等边三角形,

又∵DBC的中点,

ADBC,∠DAC=30°BD=DC=AB

∴△ABE∽△DBM

AE=2DM

3)解:如图3,连接

为等边三角形.

中,,则

的值为:

3

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于AB两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(30),与y轴交于C0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

1)求这个二次函数的表达式.

2)连接POPC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POPC,那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

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【题目】如图,某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点ABC,景区管委会又开发了风景优美的景点D,经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处,位于景点B的正北方向,还位于景点C的北偏西75°方向上,已知AB=5km

1)景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路,不考虑其它因素,求出这条公路的长;(结果精确到0.1km

2)求景点C与景点D之间的距离.(结果精确到1km

(参考数据: =1.73 =2.24sin53°=cos37°=0.80sin37°=cos53°=0.60tan53°=1.33tan37°=0.75sin38°=cos52°=0.62sin52°=cos38°=0.79tan38°=0.78tan52°=1.28sin75°=0.97cos75°=0.26tan75°=3.73.)

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【题目】被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆(俗称“大玉米”)坐落在风景如画的如意湖畔,是来郑州观光的游客留影的最佳景点,学完了三角函数知识后,刘明和王华同学决定用自己学到的知识测量“大玉米”的高度他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量,测量项目及结果如下表

请你帮助该小组根据上表中的测量数据,求出郑州会展宾馆的高度.

(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,结果保留整数)

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【题目】绿水青山就是金山银山的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.

(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?

(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,该店平均每月可售出51辆;若每辆自行车每降价20元,每月可多售出3辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大?最大利润是多少?

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【题目】如图1,在中,分别为上一点,且.

1)求证:

2)求证:

3)若,将顺时针旋转至如图2所示位置(不动),连,取中点,连,为射线上一点,连,求的最小值.

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【题目】如图,已知矩形ABCD中,AB=8AD=6 E是边CD上一个动点,连接AE,将AED沿直线AE翻折得AEF.

(1) 当点C落在射线AF上时,求DE的长;

(2)F为圆心,FB长为半径作圆F,当AD与圆F相切时,求cosFAB的值;

(3)PAB边上一点,当边CD上有且仅有一点Q满∠BQP=45°,直接写出线段BP长的取值范围.

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【题目】我们知道:三角形的三条角平分线交于一点,这个点称为三角形的内心(三角形内切圆的圆心).现在规定:如果四边形的四个角的角平分线交于一点,我们把这个点也成为四边形的内心”.

(1)试举出一个有内心的四边形.

(2)如图1,已知点O是四边形ABCD的内心,求证:AB+CD=AD+BC.

(3)如图2Rt△ABC中,∠C=90°.O△ABC的内心.若直线DE截边ACBC于点D.E,且O仍然是四边形ABED的内心.这样的直线DE可画多少条?请在图2中画出一条符合条件的直线DE,并简单说明作法.

(4)问题(3)中,若AC=3BC=4,满足条件的一条直线DE∥AB,求DE的长.

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【题目】如图,ABCD中,BF平分∠ABCAD于点F,CE平分∠DCBAD于点E,BFCE相交于点P.

(1)求证:AE=DF.

(2)已知AB=4,AD=5.

①求的值;

②求四边形ABPE的面积与△BPC的面积之比.

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