Question

【题目】△ABC和△CDE是以点C为公共顶点的两个三角形．

（1）如图1，当AB＝AC，CD＝CE，∠BAC＝∠DCE＝90°时，连接BD，取BD的中点M，连接AM．探究AM、BE之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，当AB＝AC，∠BAC＝120°，∠CDE＝60°，∠DCE＝90°时，连接BD，取BD的中点M，连接AM．探究AM、BE之间的关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）BE＝2AM；（2）AM⊥BE，且BE＝2AM．

【解析】

（1）延长AM、DC交于点P，利用BD的中点M构建全等的三角形△ABM≌△PDM，得出AP＝2AM；再证△ABE≌△ACP，证出BE＝AP＝2AM；

（2）取BC的中点P，连接MP、AP，延长AM交BC于点N，交BE于点H,利用三角形的中位线得到CD=2MP,在利用直角三角形△DCE证得＝2，利用等腰三角形的性质同理得到＝2，由此得到＝，再证△APM∽△BCE得到＝＝2，即BE＝2AM；再根据等角的代换关系得到∠EBC+∠BNH＝90°即∠AHB＝90°，得到AM⊥BE.

（1）BE＝2AM．

证明：如图1，延长AM、DC交于点P，

∵∠BAC＝∠DCE＝90°，∴AB∥CD，

∴∠1＝∠P．

∵M是BD中点，

∴BM＝DM．

∵∠3＝∠2，

∴△ABM≌△PDM（AAS）．

∴AB＝PD＝AC，AM＝PM．

∴AP＝2AM．

∵CD＝CE，

∴AC﹣CE＝DP﹣CD，即AE＝CP．

∵∠ACP＝180°﹣∠DCE＝90°＝∠BAC，

AB＝AC，

∴△ABE≌△ACP（SAS）

∴BE＝AP＝2AM．

（2）AM⊥BE，且BE＝2AM．

证明：如图2，取BC的中点P，连接MP、AP，延长AM交BC于点N，交BE于H．

∵M是BD中点，

∴MP∥CD，CD＝2MP，

在Rt△DCE中，∵∠CDE＝60°，∠DCE＝90°，

∴∠DEC＝30°，

∴DE＝2CD．

根据勾股定理，得EC＝CD，

∴＝2，

∵AB＝AC，P是BC中点，

∴AP⊥BC，BC＝2BP，∠BAP＝∠CAP，

∵∠BAC＝120°，

∴∠BAP＝60°．

同理，BP＝AP，

∴＝2．

∴＝．

∵MP∥CD∴∠MPB＝∠BCD．

∵∠BPA＝∠DCE＝90°．

∴∠BPA﹣∠MPB＝∠DCE﹣∠BCD，

∴∠MPA＝∠ECB．

∴△APM∽△BCE．

∴＝＝2，即BE＝2AM．

∠PAM＝∠EBC．

∵∠PAM+∠ANP＝90°，∠ANP＝∠BNH，

∴∠EBC+∠BNH＝90°．

∴∠AHB＝90°．

∴AM⊥BE．

所以AM、BE之间的关系为：AM⊥BE，BE＝2AM．