Question

6．在平面直角坐标系中，点A（0，4$\sqrt{3}$），B（m，-2$\sqrt{3}$），C（n，-2$\sqrt{3}$），且m，n满足$\sqrt{m+3n}$+（n-6）²=0，线段BC交y轴于点H．
（1）求B，C两点坐标；
（2）若点P以每秒4$\sqrt{3}$个单位的速度从点B出发，沿线段BA方向向终点A运动，点P的运动时间为t秒，过点P作PE∥AC，交BC于点D，连接PH，请直接写出∠DPH，∠PHA，∠HAC之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若AB=12$\sqrt{3}$，在点P运动的同时，点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度沿射线CB运动，连接HP，AQ，是否存在某一时刻，使得S_△AHP=4S_△AHQ？若存在，请求出t值，并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据$\sqrt{m+3n}$+（n-6）²=0，运用非负数的性质，得出m，n的值，即可求得B，C两点坐标；
（2）分两种情况：①当点D在线段BH上时，作HF∥PD，则HF∥AC，求得∠AHP=∠DPH+∠CAH；②当D在线段CH上时，作HF∥PD，则HF∥AC，求得∠AHP=∠CAH-∠DPH；
（3）先过P作PG⊥AH于G，根据△APG∽△ABH，求得PG=18-6t，再分两种情况：①当Q在线段CH上时，②当Q在线段BH上时，分别根据S_△AHP=4S_△AHQ，求得t的值和点Q的坐标．

解答 解：（1）∵$\sqrt{m+3n}$+（n-6）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+3n=0}\\{n-6=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-18}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴B（-18，-2$\sqrt{3}$），C（6，-2$\sqrt{3}$）；

（2）∠AHP=∠DPH+∠CAH或∠AHP=∠CAH-∠DPH．
分两种情况：
①如图所示，当点D在线段BH上时，作HF∥PD，则HF∥AC，

∴∠DPH=∠FHP，∠CAH=∠FHA，
∵∠AHP=∠FHP+∠FHA，
∴∠AHP=∠DPH+∠CAH；
②如图所示，当D在线段CH上时，作HF∥PD，则HF∥AC，

∴∠DPH=∠FHP，∠CAH=∠FHA，
∵∠AHP=∠FHA-∠FHP，
∴∠AHP=∠CAH-∠DPH；

（3）由题可得，BP=4$\sqrt{3}$t，AP=12$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$t，CQ=3t，CH=6，BH=18，
过P作PG⊥AH于G，而BC⊥AO，
∴PG∥BC，
∴△APG∽△ABH，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PG}{BH}$，即$\frac{12\sqrt{3}-4\sqrt{3}t}{12\sqrt{3}}$=$\frac{PG}{18}$，
∴PG=18-6t，
分两种情况：
①当Q在线段CH上时，HQ=6-3t，

∵S_△AHP=4S_△AHQ，
∴$\frac{1}{2}$×AH×PG=4×$\frac{1}{2}$×AH×HQ，即PG=4HQ，
∴18-6t=4×（6-3t），
解得t=1，
此时HQ=6-3=3，
∴Q（3，-2$\sqrt{3}$）；
②当Q在线段BH上时，HQ=3t-6，

∵S_△AHP=4S_△AHQ，
∴$\frac{1}{2}$×AH×PG=4×$\frac{1}{2}$×AH×HQ，即PG=4HQ，
∴18-6t=4×（3t-6），
解得t=$\frac{7}{3}$，
此时，HQ=7-6=1，
∴Q（-1，-2$\sqrt{3}$），
综上所述，当t=1时，S_△AHP=4S_△AHQ，Q（3，-2$\sqrt{3}$）；当t=$\frac{7}{3}$时，S_△AHP=4S_△AHQ，Q（-1，-2$\sqrt{3}$）．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了非负数的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形的面积的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造平行线，运用分类讨论思想进行计算求解．