Question

如图，△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF=FD；③BE=BD．其中正确的个数有

1. A.
   3个
2. B.
   2个
3. C.
   1个
4. D.
   0个

Answer 1

A
分析：根据等边三角形性质得出AB=AC，根据三线合一定理得出①正确；求出△BAE≌△CAD，推出BE=DC=BD，∠DAC=∠BAE=30°，求出∠BAE=∠BAD，根据三线合一得出EF=DF．
解答：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=DC，
∴∠ADC=90°，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠DAC=∠BAE，BE=DC，
∵BD=DC，
∴BE=BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAE=30°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠BAD=30°=∠BAE，
∵AE=AD，
∴EF=DF（三线合一），
即①②③都正确，
故选A．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．