Question

已知：如图1，射线AM∥射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持DE⊥EC，且AD+DE=AB=a．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）如图2，当点E为AB边的中点时，求证：AD+BC=CD；
（3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示△BEC的周长；若无关，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲证△ADE∽△BEC，由图形知证明两组对应角相等即可；
（2）梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半，可过点E作EF∥BC，交CD于点F，得出EF=

1

2

(AD+BC)，根据直角三角形的性质即可证明AD+BC=CD；
（3）根据△ADE∽△BEC，设AD=x，可以先求△ADE的周长，根据相似比得出△BEC的周长=2a，与m值无关．

解答：（1）证明：∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°．
∴∠AED+∠BEC=90°
又∵∠A=∠B=90°
∴∠AED+∠EDA=90°．
∴∠BEC=∠EDA．∴△ADE∽△BEC．

（2）证明：如图，过点E作EF∥BC，交CD于点F，
∵E是AB的中点，根据平行线等分线段定理，得F为CD的中点，
∴EF=

1

2

(AD+BC)．
在Rt△DEC中，∵DF=CF，
∴EF=

1

2

CD．
∴

1

2

(AD+BC)=

1

2

CD．
∴AD+BC=CD．

（3）解：△AED的周长=AE+AD+DE=a+m，BE=a-m．
设AD=x，则DE=a-x．
∵∠A=90°，
∴DE²=AE²+AD²．
即a²-2ax+x²=m²+x²．
∴x=

a2-m2

2a

．
由（1）知△ADE∽△BEC，
∴

△ADE的周长

△BEC的周长

=

AD

BE

=

a2-m2 2a

a-m

=

a+m

2a

．
∵C△ADE=a+m，
∴C△BEC=2a，
∴无影响．（8分）

点评：本题考查梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半，三角形的相关知识，相似三角形的性质，综合性较强．