Question

点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，∠DBA=∠C．
（1）请判断BD所在的直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=AO=1，求图中阴影部分的面积（结果保留根号）．

Answer 1

（1）BD所在的直线与⊙O相切，理由如下：
证明：连接OB，
∵CA是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C，
∵∠DBA=∠C，
∴∠DBA+∠OBA=∠OBC+∠OBA=∠ABC=90°，
∴OB⊥BD，
∵点B在⊙O上，
∴BD所在的直线与⊙O相切；
（2）解：∵∠DBO=90°，AD=OA=OB，
∴DO=2BO，
∴∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∵S_扇==，S_△OBD=OB•BD=×1×=，
∴S_阴=S_△OBD-S_扇=-．
分析：（1）BD所在的直线与圆O相切，理由为：连接OB，由CA为圆O的直径，利用直角所对的圆周角为直角，得到∠ABC=90°，再由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠DBA=∠C，得到∠DBA+∠OBA=∠OBC+∠OBA=∠ABC=90°，即BD垂直于半径OB，可得出BD所在的直线为圆O的切线；
（2）由BD为圆O的切线，得到三角形BDO为直角三角形，根据OB及OD的长，利用勾股定理求出BD的长，进而由直角边BD与BO乘积的一半求出直角三角形BDO的面积，再由BO为DO的一半求出∠D=30°，进而得出∠AOB=60°，利用扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，由直角三角形BDO的面积-扇形AOB的面积，即可求出阴影部分的面积．
点评：此题考查了切线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形的面积求法，含30°直角三角形的性质与判定，利用了转化及等量代换的思想，其中切线的判定方法有两种：有点连接证明垂直；无点作垂线证明垂线段等于半径．