【题目】已知:如图,O为正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连结DF,交BE的延长线于点G,连结OG.
(1)求证:△BCE≌△DCF:
(2)OG与BF有什么数量关系?证明你的结论;
(3)若GEGB=4-2,求正方形ABCD的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)OG=BF.证明见解析;(3)
【解析】
试题分析:(1)根据全等三角形的判定方法寻找条件.
(2)因为O是BD的中点,结合已知条件,知道证明G是DF中点即可.
(3)要求正方形的面积,求出边长的平方即可,为此要找到一个关于边长的方程,因为已知中有直角,根据勾股定理,结合已知条件,列出方程,求出答案.
试题解析:(1)在△BCE与△DCF中,
,
∴△BCE≌△DCF.
(2)OG=BF.
理由如下:∵△BCE≌△DCF,
∴∠CEB=∠F,
∵∠CEB=∠DEG,
∴∠F=∠DEG,
∵∠F+∠GDE=90°,
∴∠DEG+∠GDE=90°,
∴BG⊥DF,
∴∠BGD=∠BGF,
又∵BG=BG,∠DBG=∠FBG,
∴△BGD≌△BGF,
∴DG=GF,
∵O为正方形ABCD的中心,
∴DO=OB,
∴OG是△DBF的中位线,
∴OG=BF.
(3)设BC=x,则DC=x,BD=x,
由(2)知,△BGF≌△BGD,
∴BF=BD,
∴CF=(-1)x,
∵∠DGB=∠EGD,∠DBG=∠EDG,
∴△GDB∽△GED,
∴,
∴GD2=GEGB=4-2,
∵DC2+CF2=(2GD)2,
∴x2+(-1)2x2=4(4-2),
(4-2)x2=4(4-2),
x2=4,正方形ABCD的面积是4个平方单位.
∴S△DBG=S△BDF=××x2=个平方单位.
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【题目】如图,正方形的边长为1,以为圆心、为半径作扇形OA1C1弧A1C1与相交于点,设正方形与扇形之间的阴影部分的面积为;然后以为对角线作正方形,又以为圆心,、为半径作扇形,弧A2C2与相交于点,设正方形与扇形之间的阴影部分面积为;按此规律继续作下去,设正方形与扇形之间的阴影部分面积为.
(1)求;
(2)写出;
(3)试猜想(用含的代数式表示,为正整数).
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【题目】小明为了通过描点法作出函数y=x2-x+1的图象,先取自变量x的7个值满足:x2-x1=x3-x2=…=x7-x6=d,再分别算出对应的y值,列出表:
记m1=y2-y1,m2=y3-y2,m3=y4-y3,m4=y5-y4,…;s1=m2-m1,s2=m3-m2,s3=m4-m3,…
(1)判断s1、s2、s3之间关系,并说明理由;
(2)若将函数“y=x2-x+1”改为“y=ax2+bx+c(a≠0)”,列出表:
其他条件不变,判断s1、s2、s3之间关系,并说明理由;
(3)小明为了通过描点法作出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,列出表:
由于小明的粗心,表中有一个y值算错了,请指出算错的y值(直接写答案).
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【题目】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转no后得到正方形AEFG ,边EF与CD交于点O.
(1)以图中已标有字母的点为端点连结两条线段(正方形的对角线除外),要求所连结的两条线段相交且互相垂直,并说明这两条线段互相垂直的理由;
(2)若正方形的边长为2cm,重叠部分(四边形AEOD)的面积为cm2,求旋转的角度n.
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【题目】如图,长方形纸片ABCD,AD∥BC,将长方形纸片折叠,使点D与点B重合,点C落在点C'处,折痕为EF,
(1)求证:BE=BF.
(2)若∠ABE=18°,求∠BFE的度数.
(3)若AB=6,AD=8,求AE的长.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于P(n,2),与x轴交于A(-4,0),与y轴交于点C,PB⊥x轴于点B,且AC=BC.
(1)求一次函数、反比例函数的解析式;
(2)反比例函数图象有一点D,使得以B,C,P,D为顶点的四边形是菱形,求出点D的坐标.
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