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    （2012•衢州一模）如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在X轴，y轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=
    1
    4
    OA=
    		2
    ，AB=3，∠OAB=45°，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°，设OE=x，AF=y，则y与x的函数关系式为
    y=-
    1
    3
    x2+
    4
    		2
    3
    x
    y=-
    1
    3
    x2+
    4
    		2
    3
    x
    ，如果△AEF是等腰三角形时．将△AEF沿EF对折得△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积
    17
    8
    或1或
    41
    		2
    -48
    4
    17
    8
    或1或
    41
    		2
    -48
    4
    ．
    分析：首先过B作x轴的垂线，设垂足为M，由已知易求得OA=4
    		2
    ，在Rt△ABM中，已知了∠OAB的度数及AB的长，即可求出AM、BM的长，进而可得到BC、CD的长，再连接OD，证△ODE∽△AEF，通过得到的比例线段，即可得出y、x的函数关系式；
    若△AEF是等腰三角形，应分三种情况讨论：
    ①AF=EF，此时△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得；
    ②AE=EF，此时△AEF是等腰Rt△，且E是直角顶点，此时重合部分即为△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四边形AEDB是平行四边形，则AE=BD，进而可求得重合部分的面积；
    ③AF=AE，此时四边形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此时OD=OE=3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出△AEF中AE边上的高，进而可求得△AEF（即△A′EF）的面积．
    解答：解：过B作BM⊥x轴于M；
    Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；则AM=BM=
    3
    		2
    2
    ；
    ∴BC=OA-AM=4
    		2
    -
    3
    		2
    2
    =
    5
    		2
    2
    ，CD=BC-BD=
    3
    		2
    2
    ；
    连接OD；
    如图（1），由（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°；
    又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
    ∴由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-45°，
    ∴∠1=∠2，
    ∴△ODE∽△AEF，
    ∴
    OE
    AF
    =
    OD
    AE
    ，即：
    x
    y
    =
    3
    4
    		2
    -x
    ，
    ∴y与x的解析式为：y=-
    1
    3
    x2+
    4
    		2
    3
    x    ，

    当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；
    ①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；
    ∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），
    B在A′F上（A′F⊥EF）
    ∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；
    ∵AE=OA-OE=OA-CD=4
    		2
    -
    3
    2
    		2
    =
    5
    2
    		2
    ，
    ∴AF=AE•sin45°=
    5
    		2
    2
    ×
    		2
    2
    =
    5
    2
    ，
    S△AEF=
    1
    2
    EF•AF=
    1
    2
    ×(
    5
    2
    )2=
    25
    8
    ，
    ∴S梯形AEDB=
    1
    2
    (BD+AE)•DE=
    1
    2
    ×(
    		2
    +
    5
    2
    		2
    )×
    3
    		2
    2
    =
    21
    4
    ，
    ∴S四边形BDEF=S梯形AEDB-S△AEF=
    21
    4
    -
    25
    8
    =
    17
    8
    ；
    （也可用S阴影=S△A'EF-S△A'BD），
    ②当EF=AE时，如图（3），此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
    ∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA，
    ∴四边形DEAB是平行四边形
    ∴AE=DB=
    		2

    ∴S△A′EF=S△AEF=
    1
    2
    AE•EF    S△A/EF=
    1
    2
    ×(
    		2
    )2=1    ，
    ③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内．
    ∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
    由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3，
    ∴AE=AF=OA-OE=4
    		2
    -3    ，
    过F作FH⊥AE于H，则FH=AF•sin45°=(4
    		2
    -3)×
    		2
    2
    =4-
    3
    		2
    2
    ，
    ∴S△A′EF=S△AEF=
    1
    2
    AE•FH=
    1
    2
    ×(4
    		2
    -3)•(4-
    3
    		2
    2
    )=
    41
    		2
    -48
    4
    ，
    综上所述，△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为
    17
    8
    或1或
    41
    		2
    -48
    4
    ．
    故答案为：y=-
    1
    3
    x2+
    4
    		2
    3
    x    ，
    17
    8
    或1或
    41
    		2
    -48
    4
    ．
    点评：此题主要考查了梯形、平行四边形、等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定和性质；同时还考查了分类讨论的数学思想．
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    （3）当点P位于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的右侧．若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式．

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