练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2012•衢州一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过 A（0，4），B（4，0），C（-1，0）三点．过点A作垂直于y轴的直线l．在抛物线上有一动点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．
    （1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
    （2）是否存在点P，使得以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）当点P位于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的右侧．若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式．
    分析：（1）将A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分别代入抛物线y=ax2+bx+c，列出方程组，即可求出函数解析式．
    （2）当P在l下方时，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；当P在l上方时，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；
    （3）画出函数图形，利用三角形相似，求出P点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式．
    解答：解：（1）将A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分别代入抛物线y=ax2+bx+c得，
    c=4
    16a+4b+c=0
    a-b+c=0
    ，
    解得
    a=-1
    b=3
    c=4
    ，函数解析式为y=-x2+3x+4．
    （2）P在l下方时，令①△AOC∽△AQP，
    AO
    AQ
    =
    CO
    PQ
    ，
    即
    4
    x
    =
    1
    4-y
    ，
    由于y=-x2+3x+4，
    则有
    4
    x
    =
    1
    4-(-x2+3x+4)
    ，
    解得x=0（舍去）或x=
    13
    4
    ，此时，y=
    51
    16
    ，P点坐标为（
    13
    4
    ，
    51
    16
    ）．
    ②△AOC∽△PQA，
    AQ
    CO
    =
    PQ
    AO
    ，
    即
    x
    1
    =
    4-y
    4
    ，
    由于y=-x2+3x+4，
    则有
    x
    1
    =
    4-(-x2+3x+4)
    4
    ，
    解得，x=0（舍去）或x=7，P点坐标为（7，-24）．
    ③P在l上方时，令△AOC∽△PQA，
    AQ
    CO
    =
    PQ
    AO
    ，
    即
    x
    1
    =
    y-4
    4
    ，
    ∵y=-x2+3x+4，
    ∴
    x
    1
    =
    -x2+3x+4-4
    4
    ，
    解得，x=0（舍去）或x=-1，P点坐标为（-1，0）．
    ④△AOC∽△AQP，
    AO
    AQ
    =
    CO
    PQ
    ，即
    4
    x
    =
    1
    y-4

    ∴
    4
    x
    =
    1
    -x2+3x+4-4
    ，
    解得，x=0（舍去）或x=
    11
    4
    ，P点坐标为（
    11
    4
    ，
    75
    16
    ）．
    （3）如图（1），若对称点M在y轴，则∠PAQ=45°，
    设AP解析式为y=kx+b，则k=1或-1，
    当k=1时，把A（0，4）代入得y=x+4，
    当k=-1时，把A（0，4）代入得y=-x+4，
    此时P在对称轴右侧，符合题意，
    ∴y=x+4，或y=-x+4，
    设点Q（x，4），P（x，-x2+3x+4），则PQ=x2-3x=PM，
    ∵△AEM∽△MFP．
    则有
    AM
    ME
    =
    MP
    PF
    ，
    ∵ME=OA=4，AM=AQ=x，PM=PQ=x2-3x，
    ∴
    x
    4
    =
    x2-3x
    PF
    ，
    解得：PF=4x-12，
    ∴OM=（4x-12）-x=3x-12，
    Rt△AOM中，由勾股定理得OM2+OA2=AM2，
    ∴（3x-12）2+42=x2，解得x1=4，x2=5，均在抛物线对称轴的右侧，
    故点P的坐标为（4，0）或（5，-6）．
    设一次函数解析式为y=kx+b，
    把（0，4）（4，0）分别代入解析式得
    b=4
    4k+b=0
    ，
    解得
    b=4
    k=-1
    ，
    函数解析式为y=-x+4．
    把（0，4）（5，-6）分别代入解析式得
    b=4
    5k+b=-6
    ，
    解得
    b=4
    k=-2
    ，
    函数解析式为y=-2x+4．
    综上所述，函数解析式为y=x+4，y=-x+4，y=-2x+4．
    点评：本题考查了二次函数解析式的求法、二次函数解析式、相似三角形的性质、翻折变换、待定系数法求一次函数解析式等，题目错综复杂，涉及知识面广，旨在考查逻辑思维能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•衢州一模）计算2-3的结果是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•衢州一模）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•衢州一模）如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在X轴，y轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=
    1
    4
    OA=
    		2
    ，AB=3，∠OAB=45°，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°，设OE=x，AF=y，则y与x的函数关系式为
    y=-
    1
    3
    x2+
    4
    		2
    3
    x
    y=-
    1
    3
    x2+
    4
    		2
    3
    x
    ，如果△AEF是等腰三角形时．将△AEF沿EF对折得△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积
    17
    8
    或1或
    41
    		2
    -48
    4
    17
    8
    或1或
    41
    		2
    -48
    4
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•衢州一模）下图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了y与x的函数图象．
    （1）分别写出当0≤x≤4与x＞4时，y与x的函数关系式；
    （2）小明说：“所输出y的值为3时，输入x的值为0或5．”你认为他说的对吗？试结合图象说明．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案