Question

已知关于x的二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S₁，△PAB的面积为S₂，当0＜a＜1时，求证：S₁-S₂为常数，并求出该常数．

Answer 1

分析：（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出c；
（2）把A（1，0）代入得到0=a+b+1，推出b=-1-a，求出方程ax²+bx+1=0，的b²-4ac的值即可；
（3）设A（a，0），B（b，0），由根与系数的关系得：a+b=

1+a

a

，ab=

1

a

，求出AB=

1-a

a

，把y=1代入抛物线得到方程ax²+（-1-a）x+1=1，求出方程的解，进一步求出CD过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，根据△CPD∽△BPA，得出

PM

PN

=

CD

AB

，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S₁-S₂的值即可．

解答：（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：1=0+0+c，
解得：c=1，
答：c的值是1．

（2）解：把A（1，0）代入得：0=a+b+1，
∴b=-1-a，
即ax²+（-1-a）x+1=0，
b²-4ac=（-1-a）²-4a=a²-2a+1＞0，
∴a≠1，
答：a的取值范围是a＞0，且a≠1；

（3）证明：∵ax²+（-1-a）x+1=0，
∴（ax-1）（x-1）=0，
∴B点坐标是（

1

a

，0）而A点坐标（1，0）
所以AB=

1

a

-1=

1-a

a

把y=1代入抛物线得：ax²+（-1-a）x+1=1，
解得：x₁=0，x₂=

1+a

a

，
∴过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，
则MN⊥X轴，
∵CD∥AB，
∴△CPD∽△BPA，
∴

PM

PN

=

CD

AB

，
∴

1-PN

PN

=

1+a a

1-a a

，
∴PN=

1-a

2

，PM=

1+a

2

，
∴S₁-S₂=

1

2

•

1+a

a

•

1+a

2

-

1

2

•

1-a

a

•

1-a

2

=1，
即不论a为何值，
S₁-S₂的值都是常数．
答：这个常数是1．

点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与X轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．