Question

7．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF=∠BAD，且AF⊥AC．
（1）求证：四边形ABDF是菱形；
（2）若AB=5，AD=6，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形ABDF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．
（2）设BE=x，则DE=5-x，由AD²-DE²=AB²-BE²，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：∵∠ADF=∠BAD，
∴AB∥DF，
∵AF⊥AC，BD⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形；
∵DA平分∠BDF，
∴∠AFD=∠BDA，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BD=AB，
∴四边形ABDF是菱形．

（2）解：∵DA平分∠BDF，
∴∠AFD=∠BDA，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BD=AB=5，
设BE=x，则DE=5-x，
∴AD²-DE²=AB²-BE²，
∴6²-（5-x）²=5²-x²，
∴x=$\frac{7}{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
∴AC=2AF=$\frac{48}{5}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程，属于中考常考题型．