Question

6．已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC=AB=9，DC=5，AD=6，过点D作BC的平行线交AC于点E，交AB于点F．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到CD=BF，由平行线分线段成比例定理得到$\frac{CD}{AF}=\frac{CE}{AE}$求出AE=4，通过相似三角形的判定定理即可得到△ADE∽△ACD；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CD}$，求出DE=$\frac{10}{3}$，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{DE}{EF}=\frac{DC}{AF}$，求出EF=$\frac{8}{3}$，于是得到结果．

解答 解：（1）∵CD∥AB，DF∥BC，
∴CD=BF，
∵DC=5，AB=9，
∴AF=4，
∵CD∥AB，
∴$\frac{CD}{AF}=\frac{CE}{AE}$，
∵AC=9，
∴$\frac{5}{4}$=$\frac{9-AE}{AE}$，
∴AE=4，
∵$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，$\frac{AE}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD；

（2）∵△ADE∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CD}$，
∵AD=6，AC=9，CD=5，
∴$\frac{6}{9}=\frac{DE}{5}$，
∴DE=$\frac{10}{3}$，
∵DC∥AB，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{DC}{AF}$，
∴$\frac{\frac{10}{3}}{EF}=\frac{5}{4}$，
∴EF=$\frac{8}{3}$，
∴BC=$\frac{10}{3}$+$\frac{8}{3}$=6．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，梯形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．