Question

8．如图①，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”

（Ⅰ）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个等腰三角形；
（Ⅱ）如图②，当“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，求出点F的坐标；
（Ⅲ）如图③，在矩形ABCD中，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，请求出此最大面积，并求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由“折痕三角形”的定义，利用折叠的性质可得结论；
（II）根据“折痕三角形”的定义，利用垂直平分线的性质可得四边形ABEF为正方形，由正方形的性质得BF=AB，易得点F的坐标；
（III）利用分类讨论的思想结合图形，当F在BC上时，如图②所示，利用矩形面积得三角形面积的最大值；当F在CD上时，如图③所示，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K，利用三角形的面积公式和矩形的面积得三角形面积的最大值；求面积最大时，点E的坐标，结合图形，利用勾股定理可得ED的长，得点E的坐标；当F在DC中点时，点E与点A重合，如图⑤所示易得点E．

解答 解：（I）由折叠的定义可知，△BEF为矩形ABCD的“折痕三角形”时，BF=EF，
∴△BEF是等腰三角形．
故答案为：等腰；

（II）如图②所示，
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴点A在BE的垂直平分线上，即折痕经过点A，
∴四边形ABEF为正方形，
∴BF=AB=2，
∴点F的坐标为（2，0）；

（III）矩形ABCD存在面积最大的折痕△BEF，
（1）当F在BC上时，如图②所示，
S_△BEF≤$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4；

（2）当F在CD上时，如图③所示，
过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K，
∵S_△EKF=$\frac{1}{2}$KF•AH$≤\frac{1}{2}HF•AH$=$\frac{1}{2}$S_矩形AHFD，
S_△BKF=$\frac{1}{2}$KF•BH≤$\frac{1}{2}$HF•BH=$\frac{1}{2}$S_矩形BCFH，
∴S_△BEF=S_△EKF+S_△BKF≤$\frac{1}{2}$S_矩形AHFD+$\frac{1}{2}$S_矩形BCFH=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD=4，
即当F为CD的中点时，△BEF的面积最大为4；

下面求面积最大时，点E的坐标，
（1）当F与点C重合时，如图④所示，由折叠可知：CE=CB=4，
在Rt△CDE中，ED=$\sqrt{C{D}^{2}{-CE}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{-2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AE=$4-2\sqrt{3}$，
∴点E的坐标（4-2$\sqrt{3}$，2）；
（2）当F在DC中点时，点E与点A重合，如图⑤所示，此时E（0，2），
综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为（0，2）或（4-2$\sqrt{3}$，2）．

点评 本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，三角形的面积公式等，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．