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两个反比例函数在第一象限内的图象如图所示,点P在的图象上,PC⊥x轴于点C,交的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交的图象于点B,当点P在的图象上运动时,以下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②四边形PAOB的面积不会发生变化;③PA与PB始终相等;④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.其中一定正确的是  

①②④

解析试题分析:设A(x1,y1),B(x2,y2),而A、B两点都在的图象上,故有x1y1=x2y2=1,而SODB=×BD×OD=x2y2=,SOCA=×OC×AC=x1y1=,故①正确;
由A、B两点坐标可知P(x1,y2),P点在的图象上,故S矩形OCPD=OC×PD=x1y2=k,根据S四边形PAOB=S矩形OCPD﹣SODB﹣SOCA,计算结果,故②正确;
由已知得x1y2=k,即x1=k,即x1=kx2,由A、B、P三点坐标可知PA=y2﹣y1==,PB=x1﹣x2,=(k﹣1)x2,故③错误;
当点A是PC的中点时,y2=2y1,代入x1y2=k中,得2x1y1=k,故k=2,代入x1=kx2中,得x1=2x2,可知④正确.
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1y1=x2y2=1,
∵SODB=×BD×OD=x2y2=,SOCA=×OC×AC=x1y1=,故①正确;
(2)由已知,得P(x1,y2),
∵P点在的图象上,
∴S矩形OCPD=OC×PD=x1y2=k,
∴S四边形PAOB=S矩形OCPD﹣SODB﹣SOCA=k﹣=k﹣1,故②正确;
(3)由已知得x1y2=k,即x1=k,
∴x1=kx2
根据题意,得PA=y2﹣y1==,PB=x1﹣x2,=(k﹣1)x2,故③错误;
(4)当点A是PC的中点时,y2=2y1
代入x1y2=k中,得2x1y1=k,
∴k=2,
代入x1=kx2中,得x1=2x2,故④正确.
故本题答案为:①②④.
考点:反比例函数综合题.
点评:本题考查了反比例函数性质的综合运用,涉及点的坐标转化,相等长度的表示方法,三角形、四边形面积的计算,充分运用双曲线上点的横坐标与纵坐标的积等于反比例系数k.

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

已知反比例函数y=
kx
(k≠0)和一次函数y=-x-6.
(1)若一次函数和反比例函数的图象交于点(-3,m),求m和k的值;
(2)当k满足什么条件时,这两个函数的图象有两个不同的交点;
(3)当k=-2时,设(2)中的两个函数图象的交点分别为A、B,试判断此时A、B两点分别在第几象限?∠AOB是锐角还是钝角?(只要求直接写出结论)

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科目:初中数学 来源: 题型:

若一次函数y=2x-1和反比例函数y=
k2x
的图象都经过点(1,1).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)已知点A在第三象限,且同时在两个函数的图象上,求点A的坐标;
(3)当x为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值?当x为何值时,一次函数的值小于反比例函数的值?
(4)利用(2)的结果,若点B的坐标为(2,0),且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形,请你直接写出点P的坐标.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,Rt△AOB的顶点A是一次函数y=-x+(k+1)的图象与反比例函数y=
k
x
的图象在第四象限的交点,AB垂直x轴于B,且S△AOB=
3
2

(1)求这两个函数的解析式;
(2)求出它们的交点A、C的坐标和△AOC的面积.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

作业宝如图,已知反比例函数数学公式和一次函数y=2x-b图象都经过点A(1,1)
(1)求反比例函数、一次函数的表达式;
(2)如图,已知点B在第三象限,且同时在上述两个函数的图象上,求点B的坐标;
(3)在x轴上存在点P,使△AOP为等腰三角形,把符合条件的P点坐标直接写出来.

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科目:初中数学 来源:2010-2011学年福建省宁德市屏南县华侨中学九年级(上)第二次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题

如图,已知反比例函数和一次函数y=2x-b图象都经过点A(1,1)
(1)求反比例函数、一次函数的表达式;
(2)如图,已知点B在第三象限,且同时在上述两个函数的图象上,求点B的坐标;
(3)在x轴上存在点P,使△AOP为等腰三角形,把符合条件的P点坐标直接写出来.

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