Question

已知一元二次方程x²+px+q+2=0的一个根为x=3．
（1）试用p的代数式表示q；
（2）求证：一元二次方程x²+px+q=0一定有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析：（1）将x=3代入方程：9+3p+q+2=0进而得出q与p的关系；
（2）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可，△=（p+6）²+8＞0，因为（p+6）²≥0，可以得到△＞0．

解答：解：（1）把x=3代入方程：9+3p+q+2=0，
∴q=-3p-11；

（2）△=p²-4q=p²-（-3p-11）
=p²+12p+44，
=（p+6）²+8＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．