Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，AD=5，求OC的值．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；
（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值，从而根据AD的长求得OC的长．

解答：（1）证明：连结DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，

CO=CO ∠COD=∠COB OD=OB

，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵△COD≌△COB．
∴CD=CB．
∵DE=2BC，
∴ED=2CD．
∵AD∥OC，
∴△EDA∽△ECO．
∴

AD

OC

=

DE

CE

=

2

3

，
∵AD=5，
∴OC=

15

2

．

点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．