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    如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）
    （1）求抛物线的对称轴及k的值；
    （2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
    （3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．
    ①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
    ②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．
    （1）∵抛物线y=（x+1）2+k与y轴交于点C（0，-3），
    ∴-3=1+k，
    ∴k=-4，
    ∴抛物线的解析式为：y=（x+1）2-4，
    ∴抛物线的对称轴为：直线x=-1；

    （2）存在．
    连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，
    当y=0时，（x+1）2-4=0，
    解得：x=-3或x=1，
    ∵A在B的左侧，
    ∴A（-3，0），B（1，0），
    设直线AC的解析式为：y=kx+b，
    ∴
    -3k+b=0
    b=-3
    ，
    解得：
    k=-1
    b=-3
    ，
    ∴直线AC的解析式为：y=-x-3，
    当x=-1时，y=-（-1）-3=-2，
    ∴点P的坐标为：（-1，-2）；

    （3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，
    ∴-3＜x＜0；
    ①设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），
    ∵AB=4，
    ∴S△AMB=
    1
    2
    ×4×|（x+1）2-4|=2|（x+1）2-4|，
    ∵点M在第三象限，
    ∴S△AMB=8-2（x+1）2，
    ∴当x=-1时，
    即点M的坐标为（-1，-4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；

    ②设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），
    过点M作MD⊥AB于D，
    S四边形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD=
    1
    2
    ×3×1+
    1
    2
    ×（3+x）×[4-（x+1）2]+
    1
    2
    ×（-x）×[3+4-（x+1）2]
    =-
    3
    2
    （x2+3x-4）=-
    3
    2
    （x+
    3
    2
    ）2+
    75
    8
    ，
    ∴当x=-
    3
    2
    时，y=（-
    3
    2
    +1）2-4=-
    15
    4
    ，
    即当点M的坐标为（-
    3
    2
    ，-
    15
    4
    ）时，四边形AMCB的面积最大，最大值为
    75
    8
    ．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在第一象限内，以
    		5
    为半径的圆⊙M经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
    （1）在所给的坐标系中作出⊙M，并求M点的坐标；
    （2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
    （3）若D为⊙M上的最低点，E为x轴上的任一点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说出理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，O．
    （1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
    （2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
    （3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知抛物线C经过原点，对称轴x=-3与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且tan∠MON=3．
    （1）求抛物线C的解析式；
    （2）将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，抛物线C′与x轴的另一交点为A，B为抛物线C′上横坐标为2的点．
    ①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；
    ②过线段OA上的两点E，F分别作x轴的垂线，交折线O-B-A于点E1，F1，再分别以线段EE1，FF1为边作如图2所示的等边△EE1E2，等边△FF1F2．点E以每秒1个单位长度的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动．当△EE1E2与△FF1F2的某一边在同一直线上时，求时间t的值．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，抛物线y=ax2+bx-5经过A、B、C三点且交CD于F，线段AD所在直线的函数解析式为y=-3x+3．
    ①求点A、D的坐标；
    ②若ABCD的面积为12，求抛物线的函数解析式；
    ③在②的条件下，请问抛物线上是否存在点P，使得以CD、CP为邻边的平行四边形的面积是ABCD面积的
    1
    6
    ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）
    A．y=
    2
    25
    x2    		B．y=
    4
    25
    x2    		C．y=
    2
    5
    x2    		D．y=
    4
    5
    x2

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，在一边靠墙（墙足够长）用120m篱笆围成两间相等的矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积最大，则每间鸡舍的长与宽分别是______m、______m．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    2011年长江中下游地区发生了特大旱情．为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备投资的金额与政府补的额度存在下表所示的函数对应关系．
    型 号
    金 额
    投资金额x（万元）    		Ⅰ型设备Ⅱ型设备
    x5x24
    补贴金额y（万元）y1=kx（k≠0）2y2=ax2+bx（a≠0）2.43.2
    （1）分别求y1和y2的函数解析式；
    （2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知：以原点O为圆心、5为半径的半圆与y轴交于A、G两点，AB与半圆相切于点A，点B的坐标为（3，yB）（如图1）；过半圆上的点C（xC，yC）作y轴的垂线，垂足为D；Rt△DOC的面积等于
    3
    8
    xC2．
    （1）求点C的坐标；
    （2）①命题“如图2，以y轴为对称轴的等腰梯形MNPQ与M1N1P1Q1的上底和下底都分别在同一条直线上，NP∥MQ，PQ∥P1Q1，且NP＞MQ．设抛物线y=a0x2+h0过点P、Q，抛物线y=a1x2+h1过点P1、Q1，则h0＞h1”是真命题．请你以Q（3，5）、P（4，3）和Q1（p，5）、P1（p+1，3）为例进行验证；
    ②当图1中的线段BC在第一象限时，作线段BC关于y轴对称的线段FE，连接BF、CE，点T是线段BF上的动点（如图3）；设K是过T、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点，求K的纵坐标yK的取值范围．

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