Question

19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），B（4，8）C（0，8），连接AB，BC，点P从坐标原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-B-C向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设两点运动的时间为t秒，请解答下列问题：
（1）求证：AO=AB；
（2）当△APQ为直角三角形时，请求出运动的时间t；
（3）设点D为线段PQ的中点，在整个运动的过程中：
①有PQ∥AB的时刻吗？若有，请求出此时点D的坐标，若没有，请说明理由；
②请直接写出点D运动的距离．

Answer 1

分析 （1）过点Q作QD⊥x轴于点D，利用勾股定理求出AB的长度，即可求证AO=AB；
（2）△APQ为直角三角形时，由于没有规定哪个顶点是直角顶点，所以分三种情况进行讨论；
（3）①当PQ∥AB时，此时点Q只能在BC上，且易证四边形QBAP是平行四边形，利用平行四边形的性质即可求出点D的坐标．
②分点Q在AB上，Q在BC上讨论点D的坐标，从而求出点D运动的轨迹，进而求出D运动的距离．

解答 解：（1）过点Q作QD⊥x轴于点D，
∵A（10，0），B（4，8）C（0，8），
∴AO=10，BD=8，AD=6，
由勾股定理可求得：AB=10，
∴AB=AO；
（2）由题意可知：0≤t≤7，
当点P是直角顶点时，
∴PQ⊥AP，
∴PA=10-t，
若0≤t≤5时，点Q在AB上，如图2，
此时AQ=2t，
∵cos∠BAO=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{3}{5}$，
∴t=$\frac{50}{11}$，
若5＜t≤7时，点Q在BC上，如图3，
∴CQ=14-2t，OP=t，
∴OP=CQ，
∴t=14-2t，
∴t=$\frac{14}{3}$，此情况不存在；
当点A是直角顶点时，
此时，∠QAP不可能为90°，此情况不符合题意；
当点Q是直角顶点时，
若0≤t≤5时，Q在AB上，如图4，
此时，AQ=2t，AP=10-t
∵cos∠BAO=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{2t}{10-t}$=$\frac{3}{5}$，
∴t=$\frac{30}{13}$，
若5＜t≤7时，点Q在BC上，如图5，
过点Q作QE⊥x轴于点E，
此时，CQ=14-2t，OP=t，
QE=8，PE=CQ-OP=14-3t，
EA=10-（14-2t）=2t-4，
∵∠PQA=∠QEA=90°，
∴∠PQE+∠EQA=∠EQA+∠QAP=90°，
∴∠PQE=∠QAP，
∴△PQE∽△QAE，
∴$\frac{QE}{PE}=\frac{EA}{QE}$，
∴QE²=PE•EA，
∴64=（14-3t）（2t-4），
化简可得：3t²-8t+60=0，
△=-656＜0，故此情况不存在；
综上所述，t=$\frac{50}{11}$或$\frac{30}{13}$；
（3）①当PQ∥AB时，如图6，
此时四边形QBAP是平行四边形，
∴PQ=AB=10，
∵点D是PQ的中点，
∴PD=5，
过点D作DF⊥x轴于点F，
∴sin∠DPF=sin∠BAO=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{DF}{PD}$=$\frac{4}{5}$，
∴DF=4，
∴由勾股定理可知：PF=3，
∵QB=PA=2t-10，OP=t，
PA+OP=10，
∴2t-10+t=10，
∴t=$\frac{20}{3}$，
∴OF=$\frac{20}{3}$-3=$\frac{11}{3}$，
∴D的坐标为（$\frac{11}{3}$，4）
②过点D作DF⊥x轴于点F，
当0≤t≤5时，如图7，
此时，OP=t，AQ=2t，
∵sin∠BAO=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{QF}{AQ}$=$\frac{4}{5}$，
∴QF=$\frac{8}{5}t$，
由勾股定理可知：AF=$\frac{6}{5}t$，
∴OF=10-$\frac{6}{5}$t，
∴点Q的坐标为（10-$\frac{6}{5}$t，$\frac{8}{5}t$），
∵P的坐标为（t，0），
∴由中点坐标公式可知：D的坐标为（5-$\frac{t}{10}$，$\frac{4}{5}$t）
∴点D在直线y=-8x+40上，
当t=0时，D的坐标为（5，0），
当t=5时，D的坐标为（$\frac{9}{2}$，4），
∴由勾股定理可知：点D走过的路程为$\frac{\sqrt{65}}{2}$；
当5＜t≤7时，如图8
此时，OP=t，CQ=14-2t，
∴点P的坐标为（t，0），Q（14-2t，8），
∴由中点坐标公式可知：D的坐标为（7-$\frac{t}{2}$，4）
∴此时点D在直线y=4上，
当t=5时，D的坐标为（$\frac{9}{2}$，4），
当t=7时，D的坐标为（$\frac{7}{2}$，4），
∴D走过的路程为1，
∴D运动的距离为：1+$\frac{\sqrt{65}}{2}$

点评 本题考查三角形的综合问题，涉及平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高．