Question

8．已知，如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．
（1）求证：BE=DF；
（2）若菱形的边长为15cm，$\frac{AG}{GE}$=$\frac{5}{3}$，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠ADF，由已知条件得到∠BAE=∠DAF，于是证得△ABE与△AFD全等后即可证得结论；
（2）由四边形ABCD是菱形，得到BC=DC，求得CE=CF，通过三角形相似得到$\frac{AD}{BE}=\frac{AG}{EG}$=$\frac{5}{3}$，于是推出$\frac{DF}{CF}$=$\frac{3}{2}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF，
即：∠BAE=∠DAF，
在△BAE与△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ADF}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAF，
∴BE=DF；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=DC，
∵BE=DF，
∴CE=CF，
∵AD∥BE，
∴△ADG∽△BGE，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AG}{EG}$=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{3}{2}$，
∵CD=15cm，
∴DF=9cm．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．