Question

18．如图：在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．

Answer 1

分析 先求证△AEC和△ADB全等，推出AE=AD，再求证△AEF和△ADF全等，可得EF=DF，进而可得推出AF平分∠BAC．

解答 证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
在△ABD和△ACE中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠BAC}\\{∠ADB=∠AEC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AE=AD，
在Rt△AEF和Rt△ADF中$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），
∴EF=DF，
∴AF平分∠BAC．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定，关键是掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上．