Question

15．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是边的中点，AH⊥BD，垂足为H，交BC于点E．
（1）求证：∠ADB=∠CDE；
（2）若AB=2，求△CDE的面积．

Answer 1

分析 （1）作CG⊥AC，交AE于G，先证明△ABD与△AGC全等得到∠G=∠BDA，再证明△CED≌△CEG得到∠G=∠EDC，由此可以得出结论．
（2）由AD=DC得到S_△ADE=S_△CDE，由△DCE≌△GCE得到S_△CED=S_△CEG，再求出△ACG的面积即可．

解答 证明：（1）作CG⊥AC，交AE的延长线于G，
∵∠BAC=90°，AH⊥BD，
∴∠DAH+∠ADB=90°，∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠DAH，且AB=AC，∠BAC=∠ACG=90°，
在△ABD与△AGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠DAH}\\{∠AHB=∠AGC=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAG（AAS），
∴AD=CG，∠G=∠BDA，
∵D是中点，
∴AD=DC，
∴DC=CG，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∵∠ACG=90°，
∴∠ACB=∠BCG=45°，
在△DCE与△EGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CG}\\{∠DCE=∠ECG}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠G=∠EDC，
∴∠BDA=∠EDC．
（2）∵AB=AC=2，D是AC中点，
∴AD=CD=CG=1，
∵△DCE≌△GCE，
∴S_△ADE=S_△DEC=S_△ECG=$\frac{1}{3}$S_△ACG，
∵S_△ACG=$\frac{1}{2}$•AC•CG=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
∴S_△CDE=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、以及面积问题等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．