Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，求AE的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：利用角平分线的性质以及平行线的性质得出AD=FD，进而得出AG的长，再利用全等三角形的判定得出△ADF≌△ECF进而得出答案．

解答：解：∵AE为∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又∵F为DC的中点，
∴DF=CF，
∴AD=DF=

1

2

DC=

1

2

AB=2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=

3

．
则AF=2AG=2

3

，
在△ADF和△ECF中，

∠DAF=∠E ∠ADF=∠ECF DF=CF

，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
则AE=2AF=4

3

．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，得出△ADF≌△ECF是解题关键．