正方形OABC的边长为2.其中OA.OC分别在x轴和y轴上.如图1所示.直线l经过A.C两点．(1)若点P是直线l上的一点.当△OPA的面积是3时.请求出点P的坐标,(2)如图2.坐标系xOy内有一点D.点E是直线l上的一个动点.请求出|BE+DE|的最小值和此时点E的坐标．(3)若点D关于x轴对称.对称到x轴下方.直接写出|BE-DE|的最大值.并写出此时点E的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．正方形OABC的边长为2，其中OA、OC分别在x轴和y轴上，如图1所示，直线l经过A、C两点．
（1）若点P是直线l上的一点，当△OPA的面积是3时，请求出点P的坐标；
（2）如图2，坐标系xOy内有一点D（-1，2），点E是直线l上的一个动点，请求出|BE+DE|的最小值和此时点E的坐标．
（3）若点D关于x轴对称，对称到x轴下方，直接写出|BE-DE|的最大值，并写出此时点E的坐标．

分析（1）如图1中，求出直线l的解析式为y=x+2．设点P的坐标为（m，m+2），由题意得$\frac{1}{2}$×2×|m+2|=3，解方程即可．
（2）如图2中，连接OD交直线l于点E，则点E为所求，此时|BE+DE|=|OE+DE|=OD，OD即为最大值．求出直线OD的解析式，利用方程组求出等E坐标即可．
（3）如图3中，O与B关于直线l对称，所以BE=OE，|BE-DE|=|OE-DE|．由两边之差小于第三边知，当点O，D，E三点共线时，|OE-DE|的值最大，最大值为OD．求出直线OD的解析式，利用方程组求出交点E坐标即可．

解答解：（1）如图1中，

由题意知点A、点C的坐标分别为（-2，0）和（0，2）
设直线l的函数表达式y=kx+b（k≠0），经过点A（-2，0）和点C（0，2），
得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=x+2．
设点P的坐标为（m，m+2），
由题意得$\frac{1}{2}$×2×|m+2|=3，∴m=1或m=-5．
∴P（1，3），P′（-5，-3）．

（2）如图2中，连接OD交直线l于点E，则点E为所求，此时|BE+DE|=|OE+DE|=OD，OD即为最大值．

设OD所在直线为y=k₁x（k₁≠0），经过点D（-1，2），
∴2=-k₁，
∴k₁=-2，
∴直线OD为y=-2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-2x}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标为（-$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
又∵点D的坐标为（-1，2），
∴由勾股定理可得OD=$\sqrt{5}$．
即|BE+DE|的最小值为$\sqrt{5}$．

（3）如图3中，

∵O与B关于直线l对称，
∴BE=OE，∴|BE-DE|=|OE-DE|．
由两边之差小于第三边知，当点O，D，E三点共线时，|OE-DE|的值最大，最大值为OD．
∵D（-1，-2），
∴直线OD的解析式为y=2x，OD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴点E（2，4），
∴|BE-D′E|的最大值为$\sqrt{5}$此时点E的坐标为（2，4）．

点评本题考查四边形综合题、一次函数的应用、正方形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称，根据两点之间线段最短，解决最小值问题，根据三角形的两边之差小于第三边，确定最大值问题，属于中考常考题型．

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