Question

29、如图，△ABC是边长为l的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形，
求证：△AMN的周长等于2．

Answer 1

分析：可在AC延长线上截取CM₁=BM，得Rt△BDM≌Rt△CDM₁，得出边角关系，再求解△MDN≌△M₁DN，得MN=NM₁，再通过线段之间的转化即可得出结论．

解答：证明：如图，在AC延长线上截取CM₁=BM，
∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠DCM₁=90°，
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM₁，
得MD=M₁D，∠MDB=∠M₁DC，
∴∠MDM₁=120°-∠MDB+∠M₁DC=120°，
∴∠NDM₁=60°，
∵MD=M₁D，∠MDN=∠NDM₁=60°，DN=DN，
∴△MDN≌△M₁DN，
∴MN=NM₁，
故△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NM₁=AM+AM₁=AB+AC=2．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解一些简单的结论．